SISTEM BILANGAN ( Bilangan Puluhan, biner, konversi bilangan dan komplemen

Banyak sistem bilangan yang dapat dan telah dipakai dalam melaksa­nakan perhitungan. Tetapi ada sistem bilang­an yang sudah jarang dipakai ataupun tidak dipakai lagi sama sekali dan ada pula sistem bilangan yang hanya dipakai pada hal-hal tertentu saja. Sistem bilangan limaan (quinary) dipergunakan oleh orang Eskimo dan orang Indian di Amerika Utara zaman dahulu. Sistem bilangan Romawi yang sangat umum dipakai pada zaman kuno, kini pemakaian­nya terba­tas pada pemberian nomor urut seperti I untuk pertama, II untuk kedua, V untuk ke­lima dan seterusnya; kadang-kadang dipakai juga untuk penulisan tahun seperti MDCCCIV untuk menyatakan tahun 1804. Sistem bilangan dua belasan (duodecimal) sampai kini masih banyak dipakai seperti 1 kaki = 12 Inci, 1 lusin = 12 buah dan sebagai­nya. Namun yang paling umum dipakai kini adalah sistem bilangan puluhan (decimal) yang kita pakai dalam kehidup­an sehari-hari.

Karena komponen-komponen komputer digital yang meru­pakan sistem digi­tal bersifat saklar (switch), sistem bi­langan yang paling sesuai untuk kom­puter digital adalah sistem bilangan biner (binary). Keserdeha­naan pengubahan bilangan biner ke bilangan oktal atau heksadesimal dan sebaliknya, membuat bi­langan oktal dan heksadesimal juga banyak dipakai dalam dunia komputer, ter­u­tama dalam hubungan pengkodean. Bilangan Biner, Oktal dan Heksadesi­mal akan dibahas dalam bab ini didahului dengan pemba­hasan singkat tentang bilang­an desimal se­bagai pengantar.

1.1  Sistem Bilangan Puluhan

Sistem bilangan puluhan atau desimal (decimal system) adalah sistem bi­lan­gan yang kita pergunakan sehari-hari. Sistem bilangan ini disusun oleh sepuluh simbol angka yang mempunyai nilai yang berbeda satu sama lain dan karena itu dikatakan bahwa dasar/basis atau akar (base, radix) dari pada sistem bilangan ini adalah sepuluh. Ke­sepuluh angka dasar tersebut, sebagaimana telah kita ketahui, adalah: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Nilai yang terkandung dalam setiap simbol angka secara terpisah (berdiri sendiri) disebut nilai mutlak (absolute value). Jelaslah bahwa harga maksimum yang dapat dinyatakan oleh hanya satu angka adalah 9. Harga-harga yang lebih besar dapat dinyatakan hanya dengan memakai lebih dari satu angka secara bersama-sama. Nilai yang dikandung oleh setiap angka di dalam suatu bilangan demikian ditentukan oleh letak angka itu di dalam deretan di samping oleh nilai mutlaknya. Cara penulisan ini disebut sebagai sistem nilai (berdasarkan) letak/posisi (positional value sys­tem). Angka yang berada paling ka­nan dari suatu bilangan bulat tanpa bagian pecahan disebut berada pada letak ke 0 dan yang di kirinya adalah ke 1, ke 2 dan seterusnya sam­pai dengan ke (n-1) jika bi­langan itu terdiri dari n angka. Nilai letak dari pada angka paling kanan, yaitu kedudukan ke 0, adalah terkecil, yaitu 10⁰ = 1. Nilai letak ke 1 adalah 10¹, nilai letak ke 2 adalah 10² = 100, dan seterusnya nilai letak ke n-1 adalah 10^n-1.

Untuk bilangan yang mengandung bagian pecahan, bagian bulat dan pecah­annya dipisahkan oleh tanda koma (tanda titik di Inggris, Amerika, dan lain-lain). Angka di kanan tanda koma puluhan (decimal point) disebut pada kedudukan negatif, yaitu letak ke -1, ke -2 dan seterus­nya dan nilai letaknya adalah 10^-1, 10^-2, dan seterusnya 10^-m untuk kedudukan ke (-m) di kanan koma puluhan. Nilai yang diberikan oleh suatu angka pada suatu bilangan ada­lah hasil kali dari pada nilai mutlak dan nilai letaknya. Jadi, nilai yang diberikan oleh angka 5 pada bilangan 1253,476 adalah 5x10¹ = 50 dan yang diberikan oleh angka 7 adalah 7x10^-2 = 0,07.

Secara umum, suatu bilangan puluhan yang terdiri atas n angka di kiri tanda koma puluhan dan m angka di kanan tanda koma puluhan, yang dapat dinyatakan dalam bentuk:

N = a_n-1 a_n-2 ... a₁ a₀, a_-1 a_-2 ... a_-m,

mempunyai harga yang dapat dinyatakan dalam bentuk:

         N = a_n-1 10^n-1 + a_n-2 10^n-2 +...+ a₁ 10¹ + a₀ 10⁰ + a_-1 10^-1 + a_-2 10^-2 + ...

                      + a_-m 10^-m                                                                                         (1.1)

                                                                                                                   

1.2  Biner, Oktal dan Heksadesimal

Secara umum, semua sistem digital bekerja dengan sistem bilangan biner (binary) sehingga sistem binerlah yang paling penting dalam sistem digital. Selain sistem bilangan biner, sistem yang paling umum di­pakai dalam pengkodean instruksi untuk komputer digital adalah sistem bilangan oktal dan hekadesimal.

Harga dalam desimal (puluhan) yang dinyatakan oleh suatu bilangan biner, oktal, heksadesimal atau yang lain-lain yang bukan desimal dapat dihitung dengan memakai rumus:

a_n-1a_n-2... a₁a₀ a_-1a_-2... a_-m= a_n-1 R^n-1 + a_n-2 R^n-2 +... + a₁ R¹ + a₀ R⁰

                                                + a_-1 R^-1 + ... + a_-m R^-m                                         (1.2)

dengan:  a_n-1 = angka yang paling kiri,

         R = Angka dasar dari pada sistem bilangan

          n = cacah angka yang menunjukan bilangan bulat

         m = cacah angka yang menunjukkan bilangan pecahan

Persamaan (1.2), yang merupakan bentuk umum dari pada persamaan (1.1), berlaku untuk semua sistem bilangan yang berdasarkan letak yang tegas. Untuk semua sistem bilangan seperti bilangan Romawi, misalnya, persamaan ini tentunya tak dapat dipergunakan.

1.2.1 Bilangan Biner

Sistem bilangan biner mempunyai hanya dua macam sim­bol angka, yaitu 0 dan 1, dan karena itu dasar dari sistem bilangan ini adalah dua. Harga yang ditun­jukkan oleh bilangan biner dalam puluhan dapat dihitung dengan memakai per­samaan (1.2) di atas dengan memasukkan R= 2 ke dalamnya. Sebagai contoh, harga bilangan biner 101,01 adalah :

1 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁰ + 0 x 2^-1 + 1 x 2^-2 = 5,25

Dapat disadari bahwa bila kita bekerja dengan lebih dari satu bilang­an, maka kita akan mengalami kebingungan bila kita tidak memakai suatu tanda yang me­nyatakan dasar setiap bilangan. Untuk mencegah hal ini, pada setiap bi­langan di­cantumkan dasar bilangannya, seperti (101)₂ atau 101₂ untuk menyatakan bilangan 101 dalam biner. Jadi, contoh diatas dapat dituliskan sebagai :

SELANJUTNYA SILAHKAN DOWNLOAD FILENYA DI SINI ATAU


DOWNLOAD

Tweet

Subscribe to receive free email updates: